8. В треугольнике ABC отмечены середины M и N сторон BC и AC соответственно. Площадь треугольника CNM равна 96. Найдите площадь четырехугольника ABMN.

Решение:

Так как M и N — середины сторон BC и AC, то отрезок MN является средней линией треугольника ABC. Средняя линия параллельна основанию BC и равна его половине: \( MN = \frac{1}{2} AB \).

Треугольник CNM подобен треугольнику CBA по двум углам (угол C общий, \( \angle CNM = \angle CAB \) как соответственные при \( MN \parallel AB \) и секущей AC).

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия. Коэффициент подобия \( k = \frac{CN}{CA} = \frac{1}{2} \).

Следовательно, отношение площадей \( \frac{S_{CNM}}{S_{CBA}} = k^2 = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4} \).

Площадь треугольника ABC:

\( S_{CBA} = 4 \cdot S_{CNM} = 4 \cdot 96 = 384 \)

Площадь четырехугольника ABMN равна разности площадей треугольника ABC и треугольника CNM:

\( S_{ABMN} = S_{CBA} - S_{CNM} = 384 - 96 = 288 \)

Ответ: 288.