8. В треугольнике ABC сторона AB равна 25 см, сторона AC равна 7 см, сторона BC равна 24 см. Найдите длину наименьшей высоты этого треугольника.

Дано:

• Треугольник ABC.
• $$AB = 25$$ см.
• $$AC = 7$$ см.
• $$BC = 24$$ см.

Найти:

• Длину наименьшей высоты.

Решение:

1. Проверка типа треугольника: Проверим, является ли треугольник прямоугольным, используя теорему, обратную теореме Пифагора. Самая длинная сторона — AB (25 см).
• $$AC^2 + BC^2 = 7^2 + 24^2 = 49 + 576 = 625$$.
• $$AB^2 = 25^2 = 625$$.
• Так как $$AC^2 + BC^2 = AB^2$$, то треугольник ABC — прямоугольный с прямым углом при вершине C.
2. Высоты прямоугольного треугольника: В прямоугольном треугольнике две высоты совпадают с катетами ($$h_a = AC = 7$$ см, $$h_b = BC = 24$$ см). Третья высота ($$h_c$$) опущена из вершины прямого угла C на гипотенузу AB.
3. Нахождение третьей высоты: Площадь прямоугольного треугольника можно найти двумя способами:
• Через катеты: $$S = \frac{1}{2} \times AC \times BC = \frac{1}{2} \times 7 \times 24 = 7 \times 12 = 84$$ см².
• Через гипотенузу и высоту, проведенную к ней: $$S = \frac{1}{2} \times AB \times h_c = \frac{1}{2} \times 25 \times h_c$$.
4. Приравниваем площади:
• $$84 = \frac{1}{2} \times 25 \times h_c$$
• $$168 = 25 h_c$$
• $$h_c = \frac{168}{25} = 6.72$$ см.
5. Наименьшая высота: Сравниваем длины высот: 7 см, 24 см, 6.72 см. Наименьшая высота — $$h_c = 6.72$$ см.

Ответ: 6.72 см.