8. В треугольнике АВС углы А и С равны 40° и 60° соответственно. Найдите угол между высотой ВН и биссектрисой BD.

Решение:

В треугольнике АВС: \( \angle A = 40^{\circ} \), \( \angle C = 60^{\circ} \).

Найдём \( \angle B \): \( \angle B = 180^{\circ} - \angle A - \angle C = 180^{\circ} - 40^{\circ} - 60^{\circ} = 80^{\circ} \).

\( BD \) — биссектриса угла \( B \), значит, \( \angle ABD = \angle DBC = \frac{1}{2} \angle B = \frac{1}{2} \cdot 80^{\circ} = 40^{\circ} \).

\( BH \) — высота, проведённая из вершины \( B \) к стороне \( AC \). В прямоугольном треугольнике \( ABH \): \( \angle BAH = \angle A = 40^{\circ} \), \( \angle AHB = 90^{\circ} \).

Найдём \( \angle ABH \): \( \angle ABH = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 40^{\circ} = 50^{\circ} \).

Угол между высотой \( BH \) и биссектрисой \( BD \) равен \( \angle HBD \).

\( \angle HBD = \angle ABD - \angle ABH \) (если \( BH \) между \( AB \) и \( BD \)), или \( \angle HBD = \angle ABH - \angle ABD \) (если \( BD \) между \( AB \) и \( BH \)).

В нашем случае \( \angle ABH = 50^{\circ} \) и \( \angle ABD = 40^{\circ} \). Значит, \( BD \) лежит между \( AB \) и \( BH \).

\( \angle HBD = \angle ABH - \angle ABD = 50^{\circ} - 40^{\circ} = 10^{\circ} \).

Ответ: \( 10^{\circ} \).