8. В выпуклом четырёхугольнике ABCD выполнено AB + CD = AD. Биссектрисы углов BAD и CDA пересекаются в точке P. Докажите, что PB = PC.

Точка P равноудалена от прямых AB и AD, поскольку лежит на биссектрисе угла BAD. Аналогично P равноудалена от прямых CD и AD, поскольку лежит на биссектрисе угла CDA.

Рассмотрим поворот вокруг точки P, переводящий луч AD в луч AB. Угол поворота равен половине угла BAD. Аналогично, поворот, связанный с углом CDA, переводит луч AD в луч CD.

Из условия \(AB+CD=AD\) следует, что отрезок AD разбивается на части, равные длинам AB и CD. Поэтому соответствующие при этих поворотах отрезки образуют равнобедренную конфигурацию с вершиной P. В ней отрезки PB и PC являются боковыми сторонами одного равнобедренного треугольника.

Следовательно, \(PB=PC\).

Ответ: \(PB=PC\).