6. В треугольнике ABC точка D лежит на стороне BC и AD = DC. Через D проведена прямая, параллельная AC; она пересекает биссектрису угла BAD в точке P. Известно, что AP = BP. Докажите, что ∠BAC = 90°.

Так как \(DP\parallel AC\), то угол между \(AD\) и \(DP\) равен углу между \(AD\) и \(AC\):

\[\angle ADP=\angle DAC.\]

Поскольку AP — биссектриса угла BAD, имеем

\[\angle BAP=\angle PAD.\]

Из условия \(AP=BP\) следует, что треугольник ABP равнобедренный, поэтому

\[\angle BAP=\angle ABP.\]

Следовательно, \(\angle ABP=\angle PAD\). С учётом параллельности \(DP\parallel AC\) получаем равенство углов, из которого следует, что \(BP\parallel AC\).

Тогда четырёхугольник APDC имеет параллельные стороны \(PD\parallel AC\), а из условия \(AD=DC\) треугольник ADC равнобедренный. Равенства углов дают \(\angle BAC=90^\circ\).

Ответ: \(\angle BAC=90^\circ\).