7. В прямоугольном треугольнике ABC точка M — середина гипотенузы AB. Перпендикуляр к AB через M касается вписанной окружности. Найдите острые углы треугольника.

Пусть \(AC=b\), \(BC=a\), а \(AB=c\). Разместим точки так, чтобы \(A=(0,0)\), \(B=(c,0)\), а \(M=(c/2,0)\).

Центр вписанной окружности имеет абсциссу

\[x_I=\frac{a\cdot0+b\cdot c+c\cdot x_C}{a+b+c}.\]

По условию вертикальная прямая через M касается окружности, значит центр окружности лежит на этой прямой: \(x_I=c/2\).

С учётом прямоугольности треугольника и координатной формулы для точки C получаем

\[a=b.\]

Значит, прямоугольный треугольник равнобедренный. Его острые углы равны:

\[\frac{180^\circ-90^\circ}{2}=45^\circ.\]

Ответ: \(45^\circ\) и \(45^\circ\).