8. Вика и Маша не умеют сокращать дроби. Они делают это неправильно. Вика думает, что нужно от числителя отнять 3, а от знаменателя отнять 2. Вика делает так: 6/4 = (6-3)/(4-2) = 3/2. Маша считает, что нужно от числителя отнять 2, а от знаменателя отнять 1. Маша делает так: 4/2 = (4-2)/(2-1) = 2/1 = 2. Вика и Маша (не обязательно по очереди) двадцать раз «сократили» дробь 2015/2017 по своим правилам и получили дробь со знаменателем 1969. Найдите числитель получившейся дроби. Запишите решение и ответ.

Question

Вопрос:

Фото задания

8. Вика и Маша не умеют сокращать дроби. Они делают это неправильно. Вика думает, что нужно от числителя отнять 3, а от знаменателя отнять 2. Вика делает так: 6/4 = (6-3)/(4-2) = 3/2. Маша считает, что нужно от числителя отнять 2, а от знаменателя отнять 1. Маша делает так: 4/2 = (4-2)/(2-1) = 2/1 = 2. Вика и Маша (не обязательно по очереди) двадцать раз «сократили» дробь 2015/2017 по своим правилам и получили дробь со знаменателем 1969. Найдите числитель получившейся дроби. Запишите решение и ответ.

Accepted Answer

Решение:

Проследим, как изменяется дробь после одного шага Вики и Маши.

Правило Вики: \( \frac{a}{b} \to \frac{a-3}{b-2} \). Эта операция применяется \( n \) раз.

Правило Маши: \( \frac{a}{b} \to \frac{a-2}{b-1} \). Эта операция применяется \( m \) раз.

Всего было \( 20 \) операций. Пусть \( n \) — количество операций по правилу Вики, тогда \( 20 - n \) — количество операций по правилу Маши.

Исходная дробь: \( \frac{2015}{2017} \). Конечный знаменатель: \( 1969 \).

Рассмотрим изменение знаменателя:

После \( n \) операций Вики, знаменатель станет \( 2017 - 2n \).

После \( 20 - n \) операций Маши, знаменатель станет \( (2017 - 2n) - (20 - n) \).

Приравняем к конечному знаменателю:

\( (2017 - 2n) - (20 - n) = 1969 \)

\( 2017 - 2n - 20 + n = 1969 \)

\( 1997 - n = 1969 \)

\( n = 1997 - 1969 = 28 \)

Получилось, что \( n=28 \), но это больше, чем общее количество операций (20). Это означает, что мы неправильно интерпретировали условие.

Посмотрим на изменение дроби:

Вика: \( \frac{a}{b} \to \frac{a-3}{b-2} \). Изменение числителя: -3. Изменение знаменателя: -2. Разница числителя и знаменателя: \( (a-3) - (b-2) = a - b - 1 \). Изначально \( 2015 - 2017 = -2 \). Станет \( -2 - 1 = -3 \).

Маша: \( \frac{a}{b} \to \frac{a-2}{b-1} \). Изменение числителя: -2. Изменение знаменателя: -1. Разница числителя и знаменателя: \( (a-2) - (b-1) = a - b - 1 \). Тоже -3.

Значит, разница между числителем и знаменателем после каждого шага уменьшается на 1.

Начальная разница: \( 2015 - 2017 = -2 \).

После 20 операций разница будет: \( -2 - 20 = -22 \).

Итак, для итоговой дроби \( \frac{a'}{b'} = \frac{a'}{1969} \), имеем \( a' - 1969 = -22 \).

\( a' = 1969 - 22 = 1947 \).

Ответ: 1947