8. Вычислите площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями y=-x²; y=x-2.

Решение:

1. Для начала найдём точки пересечения графиков функций \( y = -x^2 \) и \( y = x - 2 \). Приравняем правые части: \( -x^2 = x - 2 \).
2. Перенесём все члены уравнения в одну сторону: \( x^2 + x - 2 = 0 \).
3. Решим полученное квадратное уравнение. Дискриминант \( D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9 \). \( \sqrt{D} = 3 \).
4. Корни уравнения: \( x_1 = \frac{-1 - 3}{2 \cdot 1} = \frac{-4}{2} = -2 \) и \( x_2 = \frac{-1 + 3}{2 \cdot 1} = \frac{2}{2} = 1 \).
5. Площадь криволинейной трапеции находится по формуле определённого интеграла: \( S = \int_{a}^{b} (f(x)_{верх} - f(x)_{низ}) dx \).
6. В данном случае \( a = -2 \) и \( b = 1 \). Верхняя функция — \( y = -x^2 \), нижняя — \( y = x - 2 \), так как на интервале \( [-2, 1] \) график \( y = -x^2 \) расположен выше графика \( y = x - 2 \) (например, при \( x = 0 \), \( -0^2 = 0 \), а \( 0 - 2 = -2 \), и \( 0 > -2 \)).
7. Вычислим интеграл: \( S = \int_{-2}^{1} (-x^2 - (x - 2)) dx = \int_{-2}^{1} (-x^2 - x + 2) dx \).
8. Найдём первообразную: \( F(x) = -\frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + 2x \).
9. Вычислим значение интеграла, используя формулу Ньютона-Лейбница: \( S = F(1) - F(-2) \).
10. \( F(1) = -\frac{1^3}{3} - \frac{1^2}{2} + 2 \cdot 1 = -\frac{1}{3} - \frac{1}{2} + 2 = \frac{-2 - 3 + 12}{6} = \frac{7}{6} \).
11. \( F(-2) = -\frac{(-2)^3}{3} - \frac{(-2)^2}{2} + 2 \cdot (-2) = -\frac{-8}{3} - \frac{4}{2} - 4 = \frac{8}{3} - 2 - 4 = \frac{8}{3} - 6 = \frac{8 - 18}{3} = -\frac{10}{3} \).
12. \( S = \frac{7}{6} - \left(-\frac{10}{3}\right) = \frac{7}{6} + \frac{10}{3} = \frac{7}{6} + \frac{20}{6} = \frac{27}{6} = \frac{9}{2} = 4.5 \).

Ответ: 4.5