8. Вычислите площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями y=-x²; y=x-2.

Решение:

Для вычисления площади криволинейной трапеции, ограниченной линиями \( y = -x^2 \) и \( y = x - 2 \), сначала найдем точки их пересечения.

1. Приравняем уравнения функций:
\[ -x^2 = x - 2 \] \[ x^2 + x - 2 = 0 \]
2. Решим квадратное уравнение, найдя дискриминант:
\[ D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9 \]
3. Найдем корни:
\[ x_1 = \frac{-1 + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 + 3}{2} = 1 \] \[ x_2 = \frac{-1 - \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 - 3}{2} = -2 \]
4. Теперь определим, какая из функций является верхней, а какая нижней на интервале \( [-2, 1] \). Возьмем тестовую точку, например, \( x = 0 \):
• \( y = -x^2 = -(0)^2 = 0 \)
• \( y = x - 2 = 0 - 2 = -2 \)

Значит, \( y = -x^2 \) — верхняя функция, а \( y = x - 2 \) — нижняя.

5. Площадь криволинейной трапеции вычисляется по формуле:
\[ S = \int_{a}^{b} (y_{верхняя} - y_{нижняя}) dx \] \[ S = \int_{-2}^{1} ((-x^2) - (x - 2)) dx \] \[ S = \int_{-2}^{1} (-x^2 - x + 2) dx \]
6. Вычислим интеграл:
\[ S = \left[ -\frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + 2x \right]_{-2}^{1} \] \[ S = \left( -\frac{1^3}{3} - \frac{1^2}{2} + 2 \cdot 1 \right) - \left( -\frac{(-2)^3}{3} - \frac{(-2)^2}{2} + 2 \cdot (-2) \right) \] \[ S = \left( -\frac{1}{3} - \frac{1}{2} + 2 \right) - \left( -\frac{-8}{3} - \frac{4}{2} - 4 \right) \] \[ S = \left( -\frac{2}{6} - \frac{3}{6} + \frac{12}{6} \right) - \left( \frac{8}{3} - 2 - 4 \right) \] \[ S = \frac{7}{6} - \left( \frac{8}{3} - 6 \right) \] \[ S = \frac{7}{6} - \left( \frac{8}{3} - \frac{18}{3} \right) \] \[ S = \frac{7}{6} - \left( -\frac{10}{3} \right) \] \[ S = \frac{7}{6} + \frac{10}{3} \] \[ S = \frac{7}{6} + \frac{20}{6} \] \[ S = \frac{27}{6} = \frac{9}{2} = 4,5 \]

Ответ: 4,5