8. За одно и то же время первый математический маятник совершил 40 колебаний, а второй 60. Определите отношение длины первого маятника к длине второго.

Для решения этой задачи нам понадобится формула периода колебаний математического маятника: \(T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}), где \(T\) - период, \(l\) - длина маятника, \(g\) - ускорение свободного падения. Частота колебаний \(
u\) обратно пропорциональна периоду, то есть \(
u = \frac{1}{T}\). Значит, \(
u = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{g}{l}}\). Пусть \(
u_1\) и \(
u_2\) - частоты колебаний первого и второго маятников, а \(l_1\) и \(l_2\) - их длины. Из условия задачи известно, что первый маятник совершил 40 колебаний, а второй - 60, за одно и то же время. Значит, \(\frac{
u_1}{
u_2} = \frac{40}{60} = \frac{2}{3}\). Тогда, \(\frac{
u_1}{
u_2} = \frac{\frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{g}{l_1}}}{\frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{g}{l_2}}} = \sqrt{\frac{l_2}{l_1}} = \frac{2}{3}\). Возведем обе части уравнения в квадрат: \(\frac{l_2}{l_1} = \frac{4}{9}\). Нам нужно найти отношение \(\frac{l_1}{l_2}\). Перевернем дробь: \(\frac{l_1}{l_2} = \frac{9}{4}\). Таким образом, отношение длин первого маятника ко второму равно 9/4 или 2.25. Ответ: Отношение длины первого маятника к длине второго равно 9/4 или 2.25