80. Упростить выражения: 1) a^(1/9)·√[6]{a·√[3]{a}; 2) b^(1/12)·√[3]{b·√[4]{b}; 3) √[3]{ab^(−2)+(ab)^(−1/6)}·√[6]{ab^4}; 4) (√[3]{a}+√[3]{b})(a^(2/3)+b^(2/3)−√[3]{ab}).

1. Преобразуем корни в степени: \(a^{1/9}\sqrt[6]{a\sqrt[3]{a}}=a^{1/9}(a\cdot a^{1/3})^{1/6}=a^{1/9+2/9}=a^{1/3}=\sqrt[3]{a}\).

2. \(b^{1/12}\sqrt[3]{b\sqrt[4]{b}}=b^{1/12}(b\cdot b^{1/4})^{1/3}=b^{1/12+5/12}=b^{1/2}=\sqrt b\).

3. Преобразуем внешние корни в степени: \(\sqrt[3]{ab^{-2}+(ab)^{-1/6}}\cdot\sqrt[6]{ab^4}=a^{1/6}b^{2/3}\bigl(ab^{-2}+(ab)^{-1/6}\bigr)^{1/3}\). Слагаемые внутри суммы различны, поэтому объединить их по свойствам степеней нельзя.

4. Обозначим \(x=\sqrt[3]{a}\), \(y=\sqrt[3]{b}\). Тогда выражение равно \((x+y)(x^2-xy+y^2)=x^3+y^3=a+b\), поскольку \((x+y)(x^2-xy+y^2)=x^3+y^3\).

Ответ: 1) \(\sqrt[3]{a}\); 2) \(\sqrt b\); 3) \(a^{1/6}b^{2/3}\bigl(ab^{-2}+(ab)^{-1/6}\bigr)^{1/3}\); 4) \(a+b\).