81. Упростить выражения: 1) (1−2√(b/a)+b/a):(a^(1/2)−b^(1/2))^2; 2) (a^(1/3)+b^(1/3)):(2+√[3]{b/a}+√[3]{a/b}); 3) (a^(1/4)−a^(9/4))/(a^(1/4)−a^(5/4))−(b^(−1/2)−b^(3/2))/(b^(1/2)+b^(−1/2)); 4) (√a−a^(−1/2)b)/(1−√(a^(−1)b))−(√[3]{a^2}−a^(−1/3)b)/(√[6]{a}+a^(1/3)√b).

Question

Вопрос: $Фото задания: 81. Упростить выражения: 1) (1−2√(b/a)+b/a):(a^(1/2)−b^(1/2))^2; 2) (a^(1/3)+b^(1/3)):(2+√[3]{b/a}+√[3]{a/b}); 3)…$ Фото задания

81. Упростить выражения: 1) (1−2√(b/a)+b/a):(a^(1/2)−b^(1/2))^2; 2) (a^(1/3)+b^(1/3)):(2+√[3]{b/a}+√[3]{a/b}); 3) (a^(1/4)−a^(9/4))/(a^(1/4)−a^(5/4))−(b^(−1/2)−b^(3/2))/(b^(1/2)+b^(−1/2)); 4) (√a−a^(−1/2)b)/(1−√(a^(−1)b))−(√[3]{a^2}−a^(−1/3)b)/(√[6]{a}+a^(1/3)√b).

Accepted Answer

$1-2\sqrt{b/a}+b/a=(1-\sqrt{b/a})^2=\left(\frac{\sqrt a-\sqrt b}{\sqrt a}\right)^2$. Поэтому $\frac{1-2\sqrt{b/a}+b/a}{(\sqrt a-\sqrt b)^2}=\frac1a$.
Пусть $x=\sqrt[3]{a}$, $y=\sqrt[3]{b}$. Знаменатель: $2+\frac yx+\frac xy=\frac{(x+y)^2}{xy}$. Следовательно, $\frac{x+y}{(x+y)^2/(xy)}=\frac{xy}{x+y}=\frac{\sqrt[3]{ab}}{\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}}$.
В первой дроби вынесем $a^{1/4}$: $\frac{a^{1/4}(1-a^2)}{a^{1/4}(1-a)}=1+a$. Во второй дроби вынесем $b^{-1/2}$: $\frac{b^{-1/2}(1-b^2)}{b^{-1/2}(b+1)}=1-b$. Разность равна $(1+a)-(1-b)=a+b$.
Первая дробь равна $\frac{(a-b)/\sqrt a}{(\sqrt a-\sqrt b)/\sqrt a}=\sqrt a+\sqrt b$. Во второй дроби вынесем степени $a$: $\frac{a^{2/3}-a^{-1/3}b}{a^{1/6}+a^{1/3}\sqrt b}=\frac{a^{-1/3}(a-b)}{a^{1/6}(1+a^{1/6}\sqrt b)}=\frac{a-b}{\sqrt a(1+a^{1/6}\sqrt b)}$. Значит, выражение упрощается до $\sqrt a+\sqrt b-\frac{a-b}{\sqrt a(1+a^{1/6}\sqrt b)}$.

Для исходных выражений предполагаются положительные значения переменных; в пункте 1 дополнительно $a\ne b$, в пункте 3 — $a\ne1$.

Ответ: 1) $1/a$; 2) $\frac{\sqrt[3]{ab}}{\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}}$; 3) $a+b$; 4) $\sqrt a+\sqrt b-\frac{a-b}{\sqrt a(1+a^{1/6}\sqrt b)}$.