808*. Точки A и C — середины противоположных сторон произвольного четырёхугольника, а точки B и D — середины двух других его сторон. Докажите, что для любой точки O верно равенство \(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD}\).

Обозначим радиус-векторы вершин четырёхугольника относительно точки \(O\) через \(\vec a,\vec b,\vec c,\vec d\).

1. Так как \(A\) — середина стороны, соединяющей вершины с радиус-векторами \(\vec a_1\) и \(\vec a_2\), то \(\overrightarrow{OA}=\frac{\vec a_1+\vec a_2}{2}\).
2. Аналогично для остальных середин. Если вершины четырёхугольника расположены последовательно и \(A,B,C,D\) — середины его сторон, то
   \(\overrightarrow{OA}=\frac{\vec X_1+\vec X_2}{2}\), \(\overrightarrow{OC}=\frac{\vec X_3+\vec X_4}{2}\),
   \(\overrightarrow{OB}=\frac{\vec X_2+\vec X_3}{2}\), \(\overrightarrow{OD}=\frac{\vec X_4+\vec X_1}{2}\).
3. Складываем радиус-векторы точек \(A\) и \(C\):
   \[\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}=\frac{\vec X_1+\vec X_2+\vec X_3+\vec X_4}{2}.\]
4. Складываем радиус-векторы точек \(B\) и \(D\):
   \[\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD}=\frac{\vec X_2+\vec X_3+\vec X_4+\vec X_1}{2}.\]
5. Правые части равны, поскольку отличаются только порядком слагаемых.

Ответ: \(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD}\).