81.4. 1) По изображению на рисунке 212 назовите: а) точку пересечения прямой MD и плоскости ABC; б) линию пересечения плоскостей MBC и EBC. В каких из плоскостей ABD, EDC, MBE, ABC не лежит прямая MB? 2) Даны две прямые, пересекающиеся в точке A. Докажите, что все прямые, пересекающие данные прямые и не проходящие через точку A, лежат в одной плоскости.

1а) Точка пересечения прямой \(MD\) с плоскостью \(ABC\) — точка \(B\), так как точки \(M\), \(B\), \(D\) лежат на одной прямой, а \(B\in(ABC)\).

1б) Плоскости \(MBC\) и \(EBC\) имеют общие точки \(B\) и \(C\). Поэтому их линия пересечения — прямая \(BC\).

Прямая \(MB\) лежит в плоскости \(ABD\), поскольку \(M,B\in(ABD)\), и в плоскости \(MBE\), поскольку \(M,B\in(MBE)\). В плоскостях \(EDC\) и \(ABC\) прямая \(MB\) не лежит.

2) Пусть данные пересекающиеся прямые — \(a\) и \(b\), их точка пересечения — \(A\). Возьмём прямую \(c\), пересекающую \(a\) в точке \(B\ne A\) и \(b\) в точке \(C\ne A\). Прямые \(a\) и \(b\) определяют единственную плоскость \(\alpha\). Точки \(B\) и \(C\) лежат в этой плоскости, следовательно, и прямая \(c=BC\) лежит в плоскости \(\alpha\). Таким образом, все прямые, пересекающие данные прямые и не проходящие через \(A\), лежат в одной плоскости.