81.5. 1) Перечертите рисунок 213 в тетрадь и постройте: а) точку пересечения прямой MN с плоскостью ABC; б) линию пересечения плоскостей MNC и ADC. 2) На трёх прямых, лежащих в плоскости α, взяты соответственно три точки A, B, C, принадлежащие плоскости β. Докажите, что точка C лежит на прямой AB.

1а) Обозначим \(K=MN\cap AD\). Так как \(AD\) лежит в плоскости \(ABC\), точка \(K\) принадлежит плоскости \(ABC\). Следовательно, \(K\) — точка пересечения прямой \(MN\) с плоскостью \(ABC\).

1б) Точка \(C\) принадлежит обеим плоскостям \(MNC\) и \(ADC\). Точка \(K\) также принадлежит плоскости \(MNC\), поскольку \(K\in MN\), и плоскости \(ADC\), поскольку \(K\in AD\). Поэтому линия пересечения этих плоскостей — прямая \(CK\).

2) Точки \(A\), \(B\), \(C\) лежат в плоскости \(\alpha\), так как принадлежат прямым, лежащим в этой плоскости. По условию все они лежат и в плоскости \(\beta\). Следовательно, точки \(A\), \(B\), \(C\) принадлежат линии пересечения плоскостей \(\alpha\) и \(\beta\). Линия пересечения двух плоскостей является прямой, поэтому точки \(A\), \(B\), \(C\) лежат на одной прямой. Значит, точка \(C\) лежит на прямой \(AB\).