81. Определи вид высказываний и установи их истинность. Построй отрицания ложных высказываний. 1) Любая правильная дробь меньше любой неправильной дроби. 2) Знаменатель неправильной дроби всегда является простым числом. 3) Квадрат числа может быть меньше самого числа. 4) Ни одну из дробей со знаменателем 6 нельзя перевести в десятичную. 5) Куб числа всегда больше самого числа. 6) 1 % числа составляет 0/100 долю этого числа. 7) Есть числа, 125 % которых меньше их самих. 8) При делении натуральных чисел остаток может быть больше или равен делителю. 9) Все числа, кратные 3, кратны и 9. 10) Существует дробь, удовлетворяющая неравенству 1/3 < x < 1/2.

Высказывания со словами «любая», «всегда», «ни одну», «все» являются общими; со словами «может», «есть», «существует» — частными (утверждается возможность или существование примера).

1. Общее; истинное: правильная дробь меньше 1, а неправильная — не меньше 1.
2. Общее; ложное. Отрицание: существует неправильная дробь, знаменатель которой не является простым числом. Например, \(\frac{3}{4}\).
3. Частное; истинное: например, \(\left(\frac12\right)^2=\frac14<\frac12\).
4. Общее; ложное. Отрицание: существует дробь со знаменателем 6, которую можно перевести в конечную десятичную дробь. Например, \(\frac{3}{6}=0.5\).
5. Общее; ложное: например, \((-1)^3=-1\), а \(-1\) не больше самого числа. Отрицание: существует число, куб которого не больше самого числа; например, \(-1\).
6. Общее утверждение; ложное: 1 % числа — это \(\frac{1}{100}\), а не \(\frac{0}{100}\) его часть. Отрицание: существует число, 1 % которого не составляет \(\frac{0}{100}\) его часть; например, число 100.
7. Частное; истинное, если рассматривать числа среди рациональных: для отрицательного числа, например \(-1\), \(125\%\cdot(-1)=-1.25<-1\).
8. Частное утверждение о возможности; ложное: при делении натуральных чисел остаток всегда меньше делителя. Отрицание: при делении натуральных чисел остаток всегда меньше делителя.
9. Общее; ложное: 3 кратно 3, но не кратно 9. Отрицание: существует число, кратное 3, которое не кратно 9; например, 3.
10. Частное; истинное: например, \(\frac{5}{12}\) находится между \(\frac13\) и \(\frac12\), поскольку \(\frac{4}{12}<\frac{5}{12}<\frac{6}{12}\).

Ответ: истинны высказывания 1, 3, 7, 10; ложны — 2, 4, 5, 6, 8, 9. Отрицания ложных высказываний приведены в пунктах 2, 4, 5, 6, 8 и 9.