81. С помощью диаграмм Эйлера докажите равенство: а) (Ā ∩ B̄) = (A ∪ B)̄; б) (A ∩ B)̄ = Ā ∪ B̄. Указание. Для доказательства нужно изобразить оба события на диаграмме Эйлера. Если изображения совпадают, то события совпадают.

а) На диаграмме область Ā ∩ B̄ — это часть пространства, лежащая вне A и вне B. Та же область представляет дополнение объединения A ∪ B. Поэтому Ā ∩ B̄ = (A ∪ B)̄.

б) Дополнение пересечения A ∩ B включает все точки, которые не принадлежат одновременно обоим множествам: это область вне A или вне B. Она совпадает с Ā ∪ B̄. Следовательно, (A ∩ B)̄ = Ā ∪ B̄.