814. Даны точки A(−1; 3; −7), B(2; −1; 5) и C(0; 1; −5). Вычислить: 1) (2AB − CB)(2BC + BA); 2) √(AB²); 3) √(AC²); 4) найти координаты векторов (AB × AC) × BC и AB × (AC × BC).

Question

Вопрос:

Фото задания: 814. Даны точки A(−1; 3; −7), B(2; −1; 5) и C(0; 1; −5). Вычислить: 1) (2AB − CB)(2BC + BA); 2) √(AB²); 3) √(AC²); 4) найти…

814. Даны точки A(−1; 3; −7), B(2; −1; 5) и C(0; 1; −5). Вычислить: 1) (2AB − CB)(2BC + BA); 2) √(AB²); 3) √(AC²); 4) найти координаты векторов (AB × AC) × BC и AB × (AC × BC).

Accepted Answer

Сначала найдём векторы: \(\overrightarrow{AB}=(3;-4;12)\), \(\overrightarrow{CB}=(2;-2;10)\), \(\overrightarrow{BC}=(-2;2;-10)\), \(\overrightarrow{BA}=(-3;4;-12)\), \(\overrightarrow{AC}=(1;-2;2)\).

\(2\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CB}=(4;-6;14)\), \(2\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BA}=(-7;8;-32)\). Их скалярное произведение: \(4\cdot(-7)+(-6)\cdot8+14\cdot(-32)=-524\).
\(\sqrt{\overrightarrow{AB}^{\,2}}=|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{3^2+(-4)^2+12^2}=13\).
\(\sqrt{\overrightarrow{AC}^{\,2}}=|\overrightarrow{AC}|=\sqrt{1^2+(-2)^2+2^2}=3\).
Векторные произведения: \(\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=(16;6;-2)\) и \(\overrightarrow{AC}\times\overrightarrow{BC}=(16;6;-2)\).
Тогда \((\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC})\times\overrightarrow{BC}=(16;6;-2)\times(-2;2;-10)=(-56;164;44)\).
А \(\overrightarrow{AB}\times(\overrightarrow{AC}\times\overrightarrow{BC})=(3;-4;12)\times(16;6;-2)=(-64;198;82)\).

Ответ: 1) −524; 2) 13; 3) 3; 4) (−56; 164; 44) и (−64; 198; 82).