82. Выделите целую часть из дроби и выясните, при каких натуральных значениях дробь принимает натуральные значения: а) \(\frac{7n^2+3n+12}{n}\); б) \(\frac{2n^2-8n+5}{n}\); в) \(\frac{(n-7)^2}{n}\); г) \(\frac{(2n-3)^3}{n^3}\); д) \(\frac{n^2-8n+17}{n-4}\); е) \(\frac{n^3-6n^2+12n+3}{(n-2)^2}\).

Разделим числитель на знаменатель и проверим, когда дробная часть даёт целое число. Считаем натуральными положительные целые числа.

1. а) \(\frac{7n^2+3n+12}{n}=7n+3+\frac{12}{n}\). Нужно, чтобы \(n\) делило 12. Натуральные значения получаются при \(n=1,2,3,4,6,12\).
2. б) \(\frac{2n^2-8n+5}{n}=2n-8+\frac{5}{n}\). Целое значение возможно при \(n=1\) или \(n=5\). При \(n=1\) значение равно \(-1\), а при \(n=5\) — \(3\). Подходит \(n=5\).
3. в) \(\frac{(n-7)^2}{n}=n-14+\frac{49}{n}\). Нужно, чтобы \(n\) делило 49: \(n=1,7,49\). При них значения равны соответственно 36, 0 и 36. Положительное натуральное значение получается при \(n=1,49\).
4. г) \(\frac{(2n-3)^3}{n^3}\). Так как \(\gcd(n,2n-3)=\gcd(n,3)\), дробь целая только при \(n\mid3\), то есть при \(n=1,3\). Значения равны \(-1\) и 1; подходит \(n=3\).
5. д) \(\frac{n^2-8n+17}{n-4}=n-4+\frac{1}{n-4}\), где \(n\ne4\). Для целого значения требуется \(n-4=\pm1\), откуда \(n=3,5\). При \(n=3\) значение равно \(-2\), при \(n=5\) — 2. Подходит \(n=5\).
6. е) Обозначим \(t=n-2\). Тогда дробь равна \(t+\frac{11}{t^2}\), где \(t\ne0\). Для целого значения \(t^2\) должно делить 11, поэтому \(t=\pm1\). Отсюда \(n=1,3\); значения дроби соответственно 10 и 12. Подходят оба значения.

Ответ: а) \(n=1,2,3,4,6,12\); б) \(n=5\); в) \(n=1,49\); г) \(n=3\); д) \(n=5\); е) \(n=1,3\).