83.3. 1) Треугольники ABC и DBC не лежат в одной плоскости и имеют общую сторону BC; точки M, H и K — середины соответственно сторон BD, CD, AC. Отрезок AB пересекает плоскость MKH в точке P. Найдите PK, если BC = 8. 2) Каким может быть взаимное расположение прямых a и b, если прямая a лежит в плоскости α, а прямая b параллельна этой плоскости?

1) В треугольнике BCD точки M и H — середины BD и CD. Поэтому по теореме о средней линии \(MH\parallel BC\).

Плоскости ABC и DBC различны, а прямая MH лежит в плоскости DBC. Следовательно, пересечение плоскости MKH с плоскостью ABC — прямая через K, параллельная BC. В треугольнике ABC точка K — середина AC, поэтому эта прямая пересекает AB в его середине P.

Теперь в треугольнике ABC отрезок PK соединяет середины AB и AC, значит, \(PK=\frac{BC}{2}=\frac{8}{2}=4\).

Ответ: \(PK=4\).

2) Так как b параллельна плоскости α, она не пересекает α, а значит, не пересекает и прямую a, лежащую в α. Прямые a и b могут быть параллельными, если они лежат в одной плоскости, или скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости.