83.3. 1) Треугольники ABC и DBC не лежат в одной плоскости и имеют общую сторону, точки M, H и K — середины соответственно сторон BD, CD, AC. Отрезок AB пересекает плоскость MKH в точке P. Найдите PK, если BC = 8. 2) Каким может быть взаимное расположение прямых a и b, если прямая a лежит в плоскости α, а прямая b параллельна этой плоскости?

1) Рассмотрим тетраэдр ABCD. В треугольнике BCD точки M и H — середины BD и CD, поэтому MH ∥ BC. Плоскость MKH пересекает плоскость BCD по прямой MH.

Поскольку M — середина BD, а прямая через M, параллельная BC, пересекает AB в точке P, из теоремы о средней линии треугольника ABD следует, что P — середина AB. (Эквивалентно это следует из положения плоскости MKH.)

Теперь в треугольнике ABC точки P и K — середины AB и AC. Значит, PK — средняя линия:

PK = BC / 2 = 8 / 2 = 4.

Ответ: PK = 4.

2) Прямая b не пересекает плоскость α, а значит, не может пересекать прямую a, лежащую в α. Поэтому прямые a и b либо параллельны, либо скрещиваются.