83. Исследуйте функцию и постройте её график: а) y = 2 − 3/(x + 1); б) y = (x − 2)³ − 1; в) y = (x⁴ + 1)/x⁴; г) y = 4 − (x + 2)⁴.

а) \(y=2-\frac{3}{x+1}\). Область определения: \(x\ne-1\); множество значений: \(y\ne2\). Асимптоты: \(x=-1\) и \(y=2\). Функция возрастает на каждом из промежутков \((-;-1)\) и \((-1;+)\). Пересечения с осями: \((1/2;0)\) и \((0;-1)\).

б) \(y=(x-2)^3-1\). Область определения и множество значений — все действительные числа. Функция возрастает; график кубической функции сдвинут на 2 вправо и на 1 вниз. Точка перегиба: \((2;-1)\). Пересечения с осями: \((3;0)\) и \((0;-9)\).

в) \(y=\frac{x^4+1}{x^4}=1+\frac1{x^4}\). Область определения: \(x\ne0\); множество значений: \((1;+)\). Функция чётная; вертикальная асимптота: \(x=0\), горизонтальная асимптота: \(y=1\). Убывает на \((-;0)\), возрастает на \((0;+)\); нулей нет.

г) \(y=4-(x+2)^4\). Область определения — все действительные числа; множество значений: \((-;4]\). Максимум достигается в вершине \((-2;4)\); ось симметрии: \(x=-2\). Возрастает при \(x<-2\), убывает при \(x>-2\). Нули: \(x=-2\pm\sqrt2\); пересечение с осью \(Oy\): \((0;-12)\).