83. log_{3}(5x-6) < log_{3} 2 + 3

Решение:

1. Определим область допустимых значений (ОДЗ): \( 5x - 6 > 0 \), следовательно \( 5x > 6 \), \( x > \frac{6}{5} \).
2. Преобразуем правую часть неравенства, представив 3 в виде логарифма по основанию 3: \( \log_{3} 2 + 3 = \log_{3} 2 + \log_{3}(3^3) = \log_{3} 2 + \log_{3} 27 \).
3. Используем свойство логарифмов \( \log_a b + \log_a c = \log_a (b · c) \): \( \log_{3}(2 · 27) = \log_{3} 54 \).
4. Исходное неравенство примет вид: \( \log_{3}(5x-6) < \log_{3} 54 \).
5. Так как основание логарифма \( 3 > 1 \), сравниваем аргументы: \( 5x - 6 < 54 \).
6. \( 5x < 54 + 6 \)
7. \( 5x < 60 \)
8. \( x < \frac{60}{5} \)
9. \( x < 12 \).
10. Объединим ОДЗ \( x > \frac{6}{5} \) и полученное решение \( x < 12 \).

Ответ: \( \frac{6}{5} < x < 12 \).