83. На рисунке из точки O выходят лучи OA, OB, OC и OD так, как показано на рисунке. Известно, что сумма углов AOB и COD равна 180°. Докажите, что биссектрисы углов AOC и BOD перпендикулярны.

Обозначим ∠AOB = x, ∠BOC = y, ∠COD = z, ∠DOA = t. Лучи расположены в порядке, показанном на рисунке, поэтому сумма углов вокруг точки равна 360°:

\(x + y + z + t = 360°\).

По условию \(x + z = 180°\), значит, \(y + t = 180°\).

Угол между биссектрисами ∠AOC и ∠BOD равен половине суммы углов BOC и DOA: \((y+t):2 = 180°:2 = 90°\).

Следовательно, биссектрисы перпендикулярны.