84. а) Докажите, что биссектрисы двух смежных углов перпендикулярны. б) Докажите, что биссектрисы двух вертикальных углов лежат на одной прямой.

а) Пусть величины смежных углов равны \(\alpha\) и \(180°-\alpha\). Угол между их биссектрисами равен сумме половин этих углов:

\(\frac{\alpha}{2}+\frac{180°-\alpha}{2}=90°\).

Значит, биссектрисы смежных углов перпендикулярны.

б) Вертикальные углы равны, а их стороны попарно являются противоположными лучами. Поэтому биссектриса одного угла и биссектриса вертикального ему угла — противоположные лучи одной прямой. Следовательно, они лежат на одной прямой.