83. Зная, что m ∈ ℤ, найдите целые значения дроби: а) (m² − 10m + 27)/(m − 5); б) (m − 6)²/(m − 3); в) (3m − 4)³/m³.

Знаменатели должны быть ненулевыми. Выделим целую часть и потребуем, чтобы дробная часть была целой.

1. а) \(\frac{m^2-10m+27}{m-5}=m-5+\frac{2}{m-5}\). Пусть \(d=m-5\). Тогда \(d\mid2\), поэтому \(d=\pm1,\pm2\). Значения дроби: при \(d=-2,-1,1,2\) получаем соответственно \(-3,-3,3,3\). Целые значения: \(-3,3\).
2. б) Пусть \(d=m-3\). Тогда \(\frac{(m-6)^2}{m-3}=d-6+\frac{9}{d}\). Условие целочисленности: \(d\mid9\), то есть \(d=\pm1,\pm3,\pm9\). Подстановка даёт значения \(-16,-12,-8,0,4,6\). Целые значения: \(-16,-12,-8,0,4,6\).
3. в) \(\frac{(3m-4)^3}{m^3}=\left(3-\frac4m\right)^3\). Если значение целое, то \(m\mid(3m-4)\), значит, \(m\mid4\). Проверяем \(m=\pm1,\pm2,\pm4\): значения соответственно \(-1,343,1,125,8,64\). Целые значения: \(-1,1,8,64,125,343\).