837. Докажите неравенство: а) $x^2+y^2+18x-6y+100>0$; б) $a^2+b^2+20-2a+2b>0$; в) $4x^2+a^2>4x-2a-2$; г) $9b^2+4c^2+2\geq 6b-4c$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 837. Докажите неравенство: а) $x^2+y^2+18x-6y+100>0$; б) $a^2+b^2+20-2a+2b>0$; в) $4x^2+a^2>4x-2a-2$; г)…$ Фото задания

Accepted Answer

а) Выделим полные квадраты:
$x^2+y^2+18x-6y+100=(x+9)^2-81+(y-3)^2-9+100=(x+9)^2+(y-3)^2+10>0$.
Сумма квадратов неотрицательна, а свободное слагаемое положительно.
б) $a^2+b^2+20-2a+2b=(a-1)^2-1+(b+1)^2-1+20=(a-1)^2+(b+1)^2+18>0$.
в) Перенесём всё в левую часть:
$4x^2+a^2-4x+2a+2=(2x-1)^2+(a+1)^2>0$.
Значит, исходная разность положительна, следовательно, тем более верно требуемое строгое неравенство.
г) Перенесём правую часть влево и выделим квадраты:
$9b^2+4c^2+2-6b+4c=(3b-1)^2+(2c+1)^2\geq 0$.
Следовательно, исходное неравенство выполняется; равенство достигается при $b=\frac13$, $c=-\frac12$.

837. Докажите неравенство: а) \(x^2+y^2+18x-6y+100>0\); б) \(a^2+b^2+20-2a+2b>0\); в) \(4x^2+a^2>4x-2a-2\); г) \(9b^2+4c^2+2\geq 6b-4c\).