838. Выпишите вместо многоточия такое число, чтобы полученное неравенство было верно при любых значениях $a$ и $b$: а) $a^2+b^2-8a-16b+\ldots>0$; б) $a^2-4a+b^2-4b+\ldots>0$; в) $4a^2+b^2+12a-4b+\ldots>0$; г) $9a^2+16b^2-6a-8b+\ldots>0$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 838. Выпишите вместо многоточия такое число, чтобы полученное неравенство было верно при любых значениях $a$ и $b$: а)…$ Фото задания

838. Выпишите вместо многоточия такое число, чтобы полученное неравенство было верно при любых значениях $a$ и $b$: а) $a^2+b^2-8a-16b+\ldots>0$; б) $a^2-4a+b^2-4b+\ldots>0$; в) $4a^2+b^2+12a-4b+\ldots>0$; г) $9a^2+16b^2-6a-8b+\ldots>0$.

Accepted Answer

а) Выделим квадраты: $a^2-8a+b^2-16b=(a-4)^2+(b-8)^2-80$. Поэтому достаточно добавить 81:
$(a-4)^2+(b-8)^2+1>0$.
Число 81 — наименьшее целое, при котором неравенство строго положительно для всех $a,b$.
б) $a^2-4a+b^2-4b=(a-2)^2+(b-2)^2-8$. Добавим 9:
$(a-2)^2+(b-2)^2+1>0$.
Число 9 — наименьшее целое, подходящее для условия.
в) $4a^2+12a+b^2-4b=4\left(a+\frac32\right)^2+(b-2)^2-13$. Добавим 14:
$4\left(a+\frac32\right)^2+(b-2)^2+1>0$.
Число 14 — наименьшее целое, подходящее для условия.
г) $9a^2-6a+16b^2-8b=9\left(a-\frac13\right)^2+16\left(b-\frac14\right)^2-\frac{13}{4}$. Добавим 4:
$9\left(a-\frac13\right)^2+16\left(b-\frac14\right)^2+\frac34>0$.
Число 4 — наименьшее целое, подходящее для условия.

Ответ: а) 81; б) 9; в) 14; г) 4.