84. Три прямые, проходящие через одну точку и не лежащие в одной плоскости, пересекают одну из параллельных плоскостей в точках A₁, B₁ и C₁, а другую — в точках A₂, B₂ и C₂. Докажите, что треугольники A₁B₁C₁ и A₂B₂C₂ подобны.

Обозначим общую точку трёх прямых через O. Параллельные плоскости задают гомотетию с центром O: каждой точке первой плоскости на прямой через O соответствует точка второй плоскости, а отношение расстояний от O до соответствующих точек одно и то же. Поэтому существует общий коэффициент k, для которого OA₂/OA₁ = OB₂/OB₁ = OC₂/OC₁ = k.

При гомотетии соответствующие отрезки пропорциональны, а соответствующие углы равны. Следовательно, треугольники A₁B₁C₁ и A₂B₂C₂ подобны по двум пропорциональным сторонам и углу между ними (либо непосредственно как образы при гомотетии).

Что и требовалось доказать.