85. Параллельные отрезки A₁A₂, B₁B₂ и C₁C₂ заключены между параллельными плоскостями α и β (рис. 32). а) Определите вид четырёхугольников A₁B₁B₂A₂, B₁C₁C₂B₂ и A₁C₁C₂A₂. б) Докажите, что ΔA₁B₁C₁ ∼ ΔA₂B₂C₂.

а) Каждая из плоскостей, проходящих через пару параллельных отрезков, пересекает α и β по параллельным прямым. Поэтому A₁B₁ ∥ A₂B₂, B₁C₁ ∥ B₂C₂ и A₁C₁ ∥ A₂C₂. В каждом из трёх четырёхугольников одна пара противоположных сторон параллельна, а другая образована параллельными отрезками A₁A₂, B₁B₂, C₁C₂. Значит, все три четырёхугольника — параллелограммы.

б) Из параллельности соответствующих сторон следует равенство соответствующих углов: ∠A₁ = ∠A₂, ∠B₁ = ∠B₂, ∠C₁ = ∠C₂. Следовательно, треугольники A₁B₁C₁ и A₂B₂C₂ подобны по двум углам.

Ответ: а) все три четырёхугольника — параллелограммы; б) ΔA₁B₁C₁ ∼ ΔA₂B₂C₂.