86 При каком n значение выражения наибольшее: а) |−n|; б) 3−|n|; в) −|n|−1; г) −|n−3|.

Решение:

Чтобы определить, при каком значении n выражение будет наибольшим, рассмотрим свойства модуля:

• Модуль числа |x| всегда неотрицателен (то есть больше или равен нулю).
• |−n| = |n|.

Проанализируем каждое выражение:

1. а) |−n|: Это выражение равно |n|. Оно будет наибольшим, когда |n| максимально.
2. б) 3−|n|: Чтобы это выражение было наибольшим, нужно вычесть наименьшее возможное значение из 3. Наименьшее значение |n| равно 0 (при n=0). Тогда выражение будет равно 3−0 = 3.
3. в) −|n|−1: Это выражение всегда будет отрицательным, так как −|n| — отрицательное число (или ноль, если n=0), и мы вычитаем еще 1. Наибольшее значение будет, когда −|n| максимально близко к нулю, то есть при n=0, значение будет −0−1 = −1.
4. г) −|n−3|: Аналогично предыдущему пункту, это выражение всегда будет отрицательным (или равно нулю, если n=3). Наибольшее значение будет, когда |n−3| минимально, то есть равно 0 (при n=3). Значение выражения будет −0 = 0.

Сравнивая полученные максимальные значения:

• а) |−n| = |n| — может быть сколь угодно большим.
• б) 3−|n| — максимальное значение равно 3 (при n=0).
• в) −|n|−1 — максимальное значение равно −1 (при n=0).
• г) −|n−3| — максимальное значение равно 0 (при n=3).

Наибольшее значение среди конечных вариантов достигается в пункте б), когда n=0, и равно 3. Однако, если рассматривать выражение а) |−n|, то оно может принимать сколь угодно большие значения, если n будет удаляться от нуля. Если вопрос подразумевает, какое из выражений имеет наибольший потенциал, то это а). Но если вопрос о том, при каком n одно из выражений принимает наибольшее значение, то для б) это 3, для г) это 0.

Учитывая, что в вариантах ответов есть выражения, которые могут быть сколь угодно большими (например, |n|), а есть ограниченные сверху (3−|n|, −|n|−1, −|n−3|), наиболее вероятно, что вопрос подразумевает наибольшее из *конкретных* значений, которые могут принять выражения.

Наибольшее значение достигается для выражения б) 3−|n| при n=0, и это значение равно 3.

Ответ: б) 3−|n|