9.1 Для получения на экране увеличенного изображения яблока в лаборатории используется собирающая линза. Ее главное фокусное расстояние f = 60 см. Расстояние d₁ от линзы до яблока может изменяться в пределах от 70 до 90 см, а расстояние d₂ от линзы до экрана - в пределах от 220 до 240 см. Изображение на экране будет четким, если выполнено соотношение 1/d₁ + 1/d₂ = 1/f. Укажите, на каком наименьшем расстоянии от линзы можно поместить яблоко, чтобы изображение на экране было чётким. Ответ выразите в сантиметрах.

Решение:

Для того чтобы изображение было чётким, должно выполняться условие:

где \( f = 60 \) см — фокусное расстояние линзы, \( d_1 \) — расстояние от предмета до линзы, \( d_2 \) — расстояние от линзы до изображения.

Нам нужно найти наименьшее возможное значение \( d_1 \) при данных диапазонах \( d_1 \) и \( d_2 \).

Из условия задачи известно, что \( 70 \le d_1 \le 90 \) см и \( 220 \le d_2 \le 240 \) см.

Выразим \( d_1 \) из формулы тонкой линзы:

Чтобы \( d_1 \) было наименьшим, знаменатель \( d_2 - f \) должен быть наибольшим, а \( fd_2 \) — наименьшим. Так как \( f \) постоянно, то \( d_2 \) должно быть наибольшим.

Подставим максимальное значение \( d_2 = 240 \) см:

Это значение \( d_1 = 80 \) см находится в допустимом диапазоне \( 70 \le d_1 \le 90 \) см.

Проверим, какое значение \( d_1 \) получается при минимальном \( d_2 = 220 \) см:

Теперь рассмотрим крайние значения \( d_1 \):

Если \( d_1 = 70 \) см, то \( \frac{1}{70} + \frac{1}{d_2} = \frac{1}{60} \), \( \frac{1}{d_2} = \frac{1}{60} - \frac{1}{70} = \frac{7 - 6}{420} = \frac{1}{420} \), \( d_2 = 420 \) см. Это значение \( d_2 \) не входит в диапазон (220-240 см).

Если \( d_1 = 90 \) см, то \( \frac{1}{90} + \frac{1}{d_2} = \frac{1}{60} \), \( \frac{1}{d_2} = \frac{1}{60} - \frac{1}{90} = \frac{3 - 2}{180} = \frac{1}{180} \), \( d_2 = 180 \) см. Это значение \( d_2 \) не входит в диапазон (220-240 см).

Наименьшее значение \( d_1 \) мы получили при максимальном \( d_2 \), оно равно 80 см.

Ответ: 80 см.