9. (26). Постройте график функции и определите, при каких значениях c прямая y = c имеет с графиком ровно две общие точки. y = { 2x+1, если x <0. 1,5x+1, если 0 ≤ x ≤ 2. x-4, если x ≥ 2.

Решение:

Для решения этой задачи построим график функции, состоящей из трех частей:

1. Часть 1: y = 2x + 1 при x < 0
   • Это линейная функция. Построим ее для значений x меньше 0.
   • Найдем точки:
     • При x = -1, y = 2*(-1) + 1 = -1. Точка (-1, -1).
     • При x = -2, y = 2*(-2) + 1 = -3. Точка (-2, -3).
     • При приближении к x = 0 (с отрицательной стороны), y стремится к 1.
2. Часть 2: y = 1.5x + 1 при 0 ≤ x ≤ 2
   • Это также линейная функция. Построим ее в заданном интервале.
   • Найдем точки:
     • При x = 0, y = 1.5*0 + 1 = 1. Точка (0, 1).
     • При x = 2, y = 1.5*2 + 1 = 3 + 1 = 4. Точка (2, 4).
3. Часть 3: y = x - 4 при x ≥ 2
   • Это линейная функция. Построим ее для значений x больше или равных 2.
   • Найдем точки:
     • При x = 2, y = 2 - 4 = -2. Точка (2, -2).
     • При x = 3, y = 3 - 4 = -1. Точка (3, -1).
     • При x = 4, y = 4 - 4 = 0. Точка (4, 0).

Построение графика:

Анализ графика:

Прямая y = c — это горизонтальная линия. Нам нужно найти такие значения c, при которых эта линия пересекает график функции ровно в двух точках.

Рассмотрим, какие значения y принимает функция на каждом участке:

• На первом участке (x < 0), y принимает значения от -∞ до 1 (не включая 1).
• На втором участке (0 ≤ x ≤ 2), y принимает значения от 1 (включительно) до 4 (включительно).
• На третьем участке (x ≥ 2), y принимает значения от -2 (включительно) до +∞.

Выявление значений c:

• Если c = 1, прямая y = 1 пересекает график в двух точках: точка (0, 1) на втором участке и точка, где 2x + 1 = 1 (т.е. x = 0, но это не входит в первый участок, поэтому одна точка). Однако, при x=0, y=1. На первом участке, при x=0, y=1. Так что y=1 пересекает график в двух точках: x=0 (второй участок) и x=0 (граница первого участка, предел). Но для строгого x<0, y стремится к 1. Давайте пересмотрим:
• При c = 1: Прямая y = 1 проходит через точку (0, 1) (второй участок). Также, предел первого участка при x → 0- равен 1. Это означает, что если бы первый участок был определен для x ≤ 0, то y=1 пересекала бы его в точке (0,1). Но так как x < 0, то y никогда не достигает ровно 1. Значит, при c=1 пересечение только одно.
• При c = 4: Прямая y = 4 пересекает второй участок в точке (2, 4). Она также пересекает третий участок, так как x - 4 = 4 => x = 8. Это дает две точки.
• При -2 < c < 1: Прямая y = c пересекает первый участок (y = 2x + 1, где y < 1) и третий участок (y = x - 4, где y > -2). Например, при c = 0: 2x + 1 = 0 => x = -0.5 (подходит, так как x < 0) и x - 4 = 0 => x = 4 (подходит, так как x ≥ 2). Это дает две точки.
• При c = -2: Прямая y = -2 пересекает третий участок в точке (2, -2). Она также пересекает первый участок, так как 2x + 1 = -2 => 2x = -3 => x = -1.5 (подходит, так как x < 0). Это дает две точки.
• При c < -2: Прямая y = c пересекает только первый участок.
• При c > 4: Прямая y = c пересекает только третий участок.

Таким образом, прямая y = c будет иметь ровно две общие точки с графиком функции, когда c находится в интервале [-2, 1) или (1, 4]. Также, при c = -2 и c = 4 будет ровно две точки.

Объединяя эти условия, мы получаем, что c должно быть в диапазоне [-2, 1) или (1, 4]. Но нужно учесть точки, где функция меняет свое определение.

Рассмотрим еще раз:

• y = 1: пересекает график только в одной точке (0, 1) на втором участке, так как на первом участке y стремится к 1, но не достигает его.
• y = 4: пересекает график в точке (2, 4) на втором участке и в точке (8, 4) на третьем участке. Две точки.
• y = -2: пересекает график в точке (2, -2) на третьем участке и в точке (-1.5, -2) на первом участке. Две точки.
• Для значений c между -2 и 1 (не включая 1): прямая пересекает первый участок и третий участок. Например, c = 0: 2x + 1 = 0 => x = -0.5; x - 4 = 0 => x = 4. Две точки.
• Для значений c между 1 и 4 (не включая 4): прямая пересекает второй участок и третий участок. Например, c = 2: 1.5x + 1 = 2 => 1.5x = 1 => x = 2/3 (подходит для второго участка) и x - 4 = 2 => x = 6 (подходит для третьего участка). Две точки.

Итак, две точки достигаются, когда:

• c = -2
• c = 4
• -2 < c < 1
• 1 < c < 4

Объединяя все эти условия, получаем, что c может быть в интервале [-2, 1) или (1, 4]. Если мы рассмотрим c=-2 и c=4, то они также дают две точки.

Следовательно, прямая y = c имеет ровно две общие точки с графиком, когда c ∈ [-2, 1) ∪ (1, 4].

Уточнение:

При c = 1, прямая y = 1 пересекает график только в одной точке (0, 1) на втором участке. На первом участке, y = 2x + 1, при x → 0-, y → 1, но y никогда не равно 1. Поэтому c=1 дает одну точку.

Таким образом, значения c, при которых прямая y = c имеет ровно две общие точки с графиком, это:

• c = -2 (пересекает первый и третий участки).
• c = 4 (пересекает второй и третий участки).
• c находится в интервале (-2, 1) (пересекает первый и третий участки).
• c находится в интервале (1, 4) (пересекает второй и третий участки).

Объединяя эти интервалы и точки:

c ∈ [-2, 1) ∪ (1, 4].

Пересмотр:

Давайте еще раз внимательно посмотрим на точки пересечения:

• c = -2: y = -2. Пересекает y = 2x + 1 при 2x = -3, x = -1.5 (подходит). Пересекает y = x - 4 при x = 2 (подходит). Две точки.
• c = 1: y = 1. Пересекает y = 1.5x + 1 при 1.5x = 0, x = 0 (подходит). На первом участке y = 2x + 1, y стремится к 1, но не достигает его. Одна точка.
• c = 4: y = 4. Пересекает y = 1.5x + 1 при 1.5x = 3, x = 2 (подходит). Пересекает y = x - 4 при x = 8 (подходит). Две точки.
• -2 < c < 1: Пересекает первый и третий участки. Две точки.
• 1 < c < 4: Пересекает второй и третий участки. Две точки.

Таким образом, ровно две точки достигаются, когда c ∈ [-2, 1) ∪ (1, 4].

Финальный ответ:

Прямая y = c имеет ровно две общие точки с графиком функции, когда c принадлежит объединению интервалов [-2, 1) и (1, 4].

Ответ: c ∈ [-2, 1) ∪ (1, 4]