9.40. На стороне AC треугольника ABC отметили точки M и N так, что AB = AM и CB = CN (рис. 9.14). Докажите, что если BM = BN, то треугольник ABC равнобедренный.

Обозначим \(AB=b\), \(BC=a\), \(AC=c\). По условию \(AM=AB=b\), поэтому \(MC=c-b\). Аналогично, \(CN=CB=a\), поэтому \(AN=c-a\).

Пусть высота, проведённая из точки \(B\) к прямой \(AC\), пересекает её в точке \(H\). Тогда по теореме Пифагора:

\(BM^2=BH^2+HM^2\), \(BN^2=BH^2+HN^2\).

Так как \(BM=BN\), то \(HM=HN\). Следовательно, точка \(H\) является серединой отрезка \(MN\), поэтому

\(AM+AN=AC\), то есть \(b+(c-a)=c\).

Отсюда \(a=b\), следовательно, \(AB=BC\).

Ответ: \(AB=BC\), поэтому треугольник \(ABC\) равнобедренный.