9.42. В равнобедренных треугольниках ABM и ABN отрезок AB является основанием. Известно, что ∠ANB = 100°. Найдите угол ANM.

Так как \(AB\) — основание равнобедренного треугольника \(ABN\), то \(AN=BN\). Поэтому углы при основании равны:

\(\angle BAN=\angle ABN=\dfrac{180^\circ-100^\circ}{2}=40^\circ\).

В равнобедренном треугольнике \(ABM\) также \(AM=BM\). Значит, точка \(M\), как и точка \(N\), лежит на серединном перпендикуляре к отрезку \(AB\). Следовательно, прямая \(MN\) перпендикулярна \(AB\).

Высота из вершины \(N\) в равнобедренном треугольнике \(ABN\) делит угол \(ANB\) пополам. Поэтому угол между лучом \(NA\) и перпендикуляром к \(AB\), направленным к стороне \(AB\), равен \(50^\circ\).

В стандартной конфигурации рисунка точка \(M\) расположена на этом луче, поэтому

Ответ: \(\angle ANM=50^\circ\).

Если точки \(M\) и \(N\) расположены на противоположных лучах серединного перпендикуляра к \(AB\), то угол \(ANM\) будет равен \(130^\circ\). Без рисунка взаимное расположение точек не задано однозначно.