9.41. На основании AC равнобедренного треугольника ABC отметили точки M и N так, что AB = AM и CB = CN (рис. 9.14). Докажите, что BM = BN.

Так как треугольник \(ABC\) равнобедренный с основанием \(AC\), то \(AB=BC\).

По условию \(AM=AB\), а \(CN=CB\). Следовательно,

\(AM=CN\).

Пусть \(O\) — середина основания \(AC\). Из равенства \(AM=CN\) следует, что точки \(M\) и \(N\) расположены симметрично относительно точки \(O\), поэтому \(OM=ON\).

В равнобедренном треугольнике медиана \(BO\), проведённая к основанию, является также высотой: \(BO\perp AC\). Поэтому треугольники \(BOM\) и \(BON\) — прямоугольные, у них \(BO\) — общий катет и \(OM=ON\). Следовательно, они равны по двум катетам.

Значит, соответствующие гипотенузы равны:

\(BM=BN\).

Ответ: \(BM=BN\).