9.5. Решите неравенство: 1) (2 − x)(3x + 5)(x² − x + 1) ≥ 0; 2) (2x + 1)²(x² − 4x + 3) > 0; 3) (3x² − 5x − 2)(2x² + x + 1) < 0; 4) 3x³ + 2x² − x < 0.

1) Квадратный множитель всегда положителен: дискриминант уравнения \(x^2-x+1=0\) равен \(-3\), а старший коэффициент положителен. Поэтому решаем \((2-x)(3x+5)\ge0\). Нули множителей: \(x=2\) и \(x=-\frac53\). Произведение неотрицательно между корнями, включая их.

Ответ: \(x\in\left[-\frac53;2\right]\).

2) Разложим квадратный множитель: \(x^2-4x+3=(x-1)(x-3)\). Так как требуется строгое неравенство, нули всего произведения исключаются. Множитель \((2x+1)^2\) положителен, кроме точки \(-\frac12\), где он равен нулю. Множитель \((x-1)(x-3)\) положителен при \(x<1\) или \(x>3\).

Ответ: \(( -\infty;-\frac12)\cup(-\frac12;1)\cup(3;+\\infty)\).

3) Второй множитель всегда положителен: его дискриминант \(1-8=-7<0\), старший коэффициент положителен. Первый множитель раскладывается: \(3x^2-5x-2=(3x+1)(x-2)\). Он отрицателен между корнями \(-\frac13\) и \(2\).

Ответ: \(x\in\left(-\frac13;2\right)\).

4) Вынесем \(x\) за скобки: \(3x^3+2x^2-x=x(3x^2+2x-1)=x(3x-1)(x+1)\). Критические точки: \(-1,0,\frac13\). При старшем коэффициенте положительном знак на промежутках чередуется; строгое неравенство исключает нули.

Ответ: \(( -\infty;-1)\cup(0;\frac13)\).