9.7. Решите неравенство: 1) (x + 3)/(x − 1) > 0; 2) ((x − 2)(x + 1))/(x − 4) < 0; 3) ((2x + 1)(x − 3))/((2 − x)(x − 5)) < 0; 4) (x³(x − 1)⁴(x + 5))/((x − 8)(1 − 4x)) > 0; 5) (x³ − x² + x − 1)/(x + 8) < 0; 6) (x⁴ + x² + 1)/(x² − 4x − 5) > 0; 7) ((x − 4)(x − 3)(3x − 7 − x²))/(x² + x − 2) > 0; 8) (x⁶ + 3x⁴ − x² − 3)/(x³ − 64x) < 0.

Question

Вопрос:

Фото задания

9.7. Решите неравенство: 1) (x + 3)/(x − 1) > 0; 2) ((x − 2)(x + 1))/(x − 4) < 0; 3) ((2x + 1)(x − 3))/((2 − x)(x − 5)) < 0; 4) (x³(x − 1)⁴(x + 5))/((x − 8)(1 − 4x)) > 0; 5) (x³ − x² + x − 1)/(x + 8) < 0; 6) (x⁴ + x² + 1)/(x² − 4x − 5) > 0; 7) ((x − 4)(x − 3)(3x − 7 − x²))/(x² + x − 2) > 0; 8) (x⁶ + 3x⁴ − x² − 3)/(x³ − 64x) < 0.

Accepted Answer

Для дробно-рациональных неравенств точки, обращающие знаменатель в ноль, исключаем из области определения.

1) Нули числителя и знаменателя: \(-3\) и \(1\). Дробь положительна, когда числитель и знаменатель одного знака.

Ответ: \(( -\infty;-3)\cup(1;+\infty)\).

2) Критические точки: \(-1,2,4\). Знак дроби отрицателен на промежутках \(( -\infty;-1)\) и \((2;4)\).

Ответ: \(( -\infty;-1)\cup(2;4)\).

3) Критические точки: \(-\frac12,2,3,5\), причём \(2\) и \(5\) запрещены областью определения. Проверка знаков множителей даёт отрицательные значения на \(( -\frac12;2)\) и \((3;5)\).

Ответ: \(( -\frac12;2)\cup(3;5)\).

4) Критические точки: \(-5,0,\frac14,1,8\). Точка \(1\) имеет чётную кратность и знак не меняет; \(\frac14\) и \(8\) запрещены. Анализ знаков даёт положительные значения на \(( -\infty;-5)\), \((0;\frac14)\), \((\frac14;1)\), \((1;8)\) и \((8;+\infty)\).

Ответ: \(( -\infty;-5)\cup(0;\frac14)\cup(\frac14;1)\cup(1;8)\cup(8;+\infty)\).

5) Числитель раскладывается: \(x^3-x^2+x-1=(x-1)(x^2+1)\). Поскольку \(x^2+1>0\), критические точки — \(-8\) и \(1\). Дробь отрицательна между ними.

Ответ: \((-8;1)\).

6) Числитель \(x^4+x^2+1\) всегда положителен. Знаменатель \((x-5)(x+1)\) положителен вне корней, отрицателен между ними.

Ответ: \(( -\infty;-1)\cup(5;+\infty)\).

7) Разложим множители: \(3x-7-x^2=-(x-3)(x-4)\), а \(x^2+x-2=(x+2)(x-1)\). Выражение равно \(-\frac{(x-4)^2(x-3)^2}{(x+2)(x-1)}\). Оно положительно, когда \((x+2)(x-1)<0\), кроме нулей числителя \(3\) и \(4\), где исходная дробь равна нулю.

Ответ: \((-2;1)\).

8) Разложим числитель и знаменатель: \(x^6+3x^4-x^2-3=(x^2+3)(x^4-1)=(x^2+3)(x-1)(x+1)(x^2+1)\); \(x^3-64x=x(x-8)(x+8)\). Положительные множители \(x^2+3\) и \(x^2+1\) на знак не влияют. С учётом точек \(-8,-1,0,1,8\) дробь отрицательна на \((-8;-1)\), \((0;1)\) и \((8;+\infty)\).

Ответ: \((-8;-1)\cup(0;1)\cup(8;+\infty)\).