9.9. Решите неравенство: 1) 1/x < 1; 2) 1/(x + 2) < 3/(x − 3); 3) (x − 1)/x − (x + 1)/(x − 1) < 2; 4) (2x − 5)/(x² − 6x − 7) < 1/(x − 3); 5) 7/(x² − 5x + 6) + 9/(x − 3) < −1; 6) 2/(3x + 7) < 1/(x + 3) − 1/(x + 1).

Question

Вопрос:

Фото задания: 9.9. Решите неравенство: 1) 1/x < 1; 2) 1/(x + 2) < 3/(x − 3); 3) (x − 1)/x − (x + 1)/(x − 1) < 2; 4) (2x − 5)/(x² − 6x −…

9.9. Решите неравенство: 1) 1/x < 1; 2) 1/(x + 2) < 3/(x − 3); 3) (x − 1)/x − (x + 1)/(x − 1) < 2; 4) (2x − 5)/(x² − 6x − 7) < 1/(x − 3); 5) 7/(x² − 5x + 6) + 9/(x − 3) < −1; 6) 2/(3x + 7) < 1/(x + 3) − 1/(x + 1).

Accepted Answer

1) Область определения: \(x\ne0\). Переносим единицу влево: \(\frac{1-x}{x}<0\). Критические точки — \(0\) и \(1\); дробь отрицательна при \(x<0\) или \(x>1\).

Ответ: \(( -\infty;0)\cup(1;+\infty)\).

2) Область определения: \(x\ne-2,3\). Переносим всё влево и приводим к общему знаменателю: \(\frac{1}{x+2}-\frac{3}{x-3}=\frac{-2x-9}{(x+2)(x-3)}<0\). Критические точки: \(-\frac92,-2,3\). Анализ знаков даёт решение \((-\frac92;-2)\cup(3;+\infty)\).

Ответ: \(\left(-\frac92;-2\right)\cup(3;+\infty)\).

3) Область определения: \(x\ne0,1\). После переноса 2 и приведения к общему знаменателю получаем \(\frac{-2x^2+2x-1}{x(x-1)}<0\). Числитель всегда отрицателен, поскольку \(2x^2-2x+1>0\). Поэтому знаменатель должен быть положительным: \(x<0\) или \(x>1\).

Ответ: \(( -\infty;0)\cup(1;+\infty)\).

4) Область определения: \(x\ne-1,3,7\). Переносим правую часть влево и приводим к общему знаменателю: \(\frac{2x-5}{(x-7)(x+1)}-\frac1{x-3}=\frac{x^2-12x+38}{(x-7)(x+1)(x-3)}<0\). Числитель положителен всегда: его дискриминант равен \(144-152=-8\), а старший коэффициент положителен. Знаменатель отрицателен на \(( -\infty;-1)\) и \((3;7)\).

Ответ: \(( -\infty;-1)\cup(3;7)\).

5) Область определения: \(x\ne2,3\). После переноса \(-1\) влево и приведения к общему знаменателю получаем \(\frac{x^2+11x-14}{(x-2)(x-3)}<0\). Корни числителя: \(\frac{-11\pm\sqrt{177}}2\). Расположение критических точек: \(\frac{-11-\sqrt{177}}2<2<\frac{-11+\sqrt{177}}2<3\). По знакам дробь отрицательна на двух промежутках.

Ответ: \(\left(\frac{-11-\sqrt{177}}2;2\right)\cup\left(\frac{-11+\sqrt{177}}2;3\right)\).

6) Область определения: \(x\ne-\frac73,-3,-1\). Переносим всё влево и приводим к общему знаменателю: \(\frac{2}{3x+7}-\frac1{x+3}+\frac1{x+1}=\frac{2x^2+11x+23}{(3x+7)(x+3)(x+1)}<0\). Дискриминант числителя отрицателен, поэтому он всегда положителен. Знаменатель отрицателен на \(( -\infty;-3)\) и \((-\frac73;-1)\).

Ответ: \(( -\infty;-3)\cup\left(-\frac73;-1\right)\).