9.51. В прямой треугольной призме боковое ребро равно 3. В основании призмы лежит равносторонний треугольник ABC, |AC| = |AB| = |BC| = 4. Найдите: а) длины диагоналей боковых граней; б) угол между диагональю A′C и плоскостью основания; в) двугранный угол между CA′B и ABC; г) площадь сечения CA′B.

а) Диагонали боковых граней. Каждая боковая грань — прямоугольник со сторонами 3 и 4. По теореме Пифагора длина диагонали равна \(\sqrt{3^2+4^2}=5\). Таких диагоналей у трёх боковых граней — по две в каждой.

б) Угол между A′C и плоскостью основания. Проекция A′C на основание — отрезок AC длины 4, а перпендикулярная составляющая равна боковому ребру 3. Поэтому длина A′C равна 5 и для искомого угла \(\alpha\): \(\sin\alpha=\frac{3}{5}\), то есть \(\alpha=\arctan\frac{3}{4}\approx36.9^\circ\).

в) Двугранный угол между плоскостями CA′B и ABC. Их общая сторона — BC. Пусть H — основание высоты AH равностороннего треугольника ABC. Тогда \(AH=2\sqrt{3}\), а сечение плоскостью, перпендикулярной BC, образует угол между плоскостями как угол между AH и HA′. В прямоугольном треугольнике AHA′ имеем \(AA′=3\), поэтому \(\tan\varphi=\frac{3}{2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{2}\). Следовательно, \(\varphi=\arctan\frac{\sqrt{3}}{2}\approx40.9^\circ\).

г) Площадь сечения CA′B. Возьмём BC за основание треугольника CA′B. Расстояние от A′ до BC равно \(\sqrt{AH^2+AA′^2}=\sqrt{12+9}=\sqrt{21}\). Тогда площадь сечения равна \(\frac{1}{2}\cdot4\cdot\sqrt{21}=2\sqrt{21}\).

Ответ: а) 5; б) \(\arctan\frac{3}{4}\); в) \(\arctan\frac{\sqrt{3}}{2}\); г) \(2\sqrt{21}\).