9.53. В правильной пирамиде ABCD все рёбра равны 2. Вычислите: а) высоту пирамиды; б) апофему; в) площадь сечения, проходящего через боковое ребро и высоту; г) углы между боковыми гранями и основанием.

Основание правильной четырёхугольной пирамиды — квадрат ABCD со стороной 2. Обозначим вершину пирамиды через S, центр основания — через O, а середину стороны основания — через M.

а) Высота. Диагональ квадрата равна \(2\sqrt{2}\), поэтому \(OA=\sqrt{2}\). В прямоугольном треугольнике SOA гипотенуза \(SA=2\), значит \(SO=\sqrt{SA^2-OA^2}=\sqrt{4-2}=\sqrt{2}\).

б) Апофема. \(OM=1\). В прямоугольном треугольнике SOM апофема \(SM=\sqrt{SO^2+OM^2}=\sqrt{2+1}=\sqrt{3}\).

в) Площадь сечения. Рассмотрим сечение через боковое ребро SA и высоту SO. Оно пересекает основание по диагонали AC, поэтому сечение — треугольник SAC. Его основание \(AC=2\sqrt{2}\), высота к AC равна \(SO=\sqrt{2}\). Тогда \(S_{SAC}=\frac{1}{2}\cdot2\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}=2\).

г) Угол между боковой гранью и основанием. Для любой боковой грани этот угол одинаков. В сечении SOM он равен углу SMO, причём \(\tan\angle SMO=\frac{SO}{OM}=\sqrt{2}\). Следовательно, угол равен \(\arctan\sqrt{2}\approx54.7^\circ\).

Ответ: а) \(\sqrt{2}\); б) \(\sqrt{3}\); в) 2; г) \(\arctan\sqrt{2}\).