9.52. В условиях предыдущей задачи K и M — середины сторон A′C′ и A′B′. Найдите: а) площадь сечения KMBC; б) угол между KC и основанием; в) угол между сечением и основанием.

Пусть H — основание высоты равностороннего треугольника ABC на BC. Тогда \(AH=2\sqrt{3}\), а высота призмы равна 3.

а) Площадь сечения KMBC. В треугольнике A′B′C′ отрезок KM соединяет середины двух сторон, поэтому \(KM=\frac{1}{2}B′C′=2\) и \(KM\parallel BC\). Получается трапеция с основаниями 2 и 4. Её высота — расстояние между KM и BC в плоскости сечения: \(\sqrt{(AH/2)^2+3^2}=\sqrt{3+9}=2\sqrt{3}\). Следовательно, \(S_{KMBC}=\frac{2+4}{2}\cdot2\sqrt{3}=6\sqrt{3}\).

б) Угол между KC и основанием. Проекция K на основание — середина AC; её расстояние до C равно 2. Высота KC над основанием равна 3, поэтому \(\tan\beta=\frac{3}{2}\), то есть \(\beta=\arctan\frac{3}{2}\approx56.3^\circ\).

в) Угол между плоскостью KMBC и основанием. В сечении плоскостью, перпендикулярной BC, горизонтальная составляющая от BC до проекции K равна \(AH/2=\sqrt{3}\), а вертикальная — 3. Поэтому \(\tan\gamma=\frac{3}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}\), откуда \(\gamma=60^\circ\).

Ответ: а) \(6\sqrt{3}\); б) \(\arctan\frac{3}{2}\); в) \(60^\circ\).