9. A₁B₁C₁ ∥ ABC, DA₁ : AA₁ = 3 : 4, S₍A₁B₁C₁₎ = 27. Найдите S₍ABC₎.

Треугольники \(A_1B_1C_1\) и \(ABC\) подобны, поскольку их плоскости параллельны.

Из отношения \(DA_1:AA_1=3:4\) получаем:

\(DA=3+4=7\) частей, поэтому \(\dfrac{AA_1}{DA}=\dfrac{4}{7}\).

Коэффициент подобия треугольников:

\(k=\dfrac{A_1B_1}{AB}=\dfrac{4}{7}\).

Площади подобных фигур относятся как квадраты коэффициента подобия:

\(\dfrac{S_{A_1B_1C_1}}{S_{ABC}}=\left(\dfrac{4}{7}\right)^2=\dfrac{16}{49}\).

Подставим известную площадь:

\(\dfrac{27}{S_{ABC}}=\dfrac{16}{49}\),

\(S_{ABC}=27\cdot\dfrac{49}{16}=\dfrac{1323}{16}\).

Ответ: \(\dfrac{1323}{16}\).