9.Баскетболист бросает мяч 5 раз. Вероятность попадания при одном броске — 3/4. Найдите вероятность того, что он попадёт ровно 3 раза. Округлить результат до тысячных.

Задание 9. Вероятность ровно 3 попаданий при 5 бросках

Дано:

• Количество бросков: \( n = 5 \)
• Вероятность попадания в одном броске: \( p = \frac{3}{4} = 0.75 \)
• Число интересующих попаданий: \( k = 3 \)

Найти: Вероятность того, что баскетболист попадёт ровно 3 раза.

Решение:

Это задача на биномиальное распределение. Формула Бернулли:

\[ P(X=k) = C_{n}^{k} \cdot p^k \cdot q^{n-k} \]

где:

• \( n \) — общее число испытаний (бросков).
• \( k \) — число успешных исходов (попаданий).
• \( p \) — вероятность успеха в одном испытании.
• \( q \) — вероятность неудачи в одном испытании. \( q = 1 - p \)
• \( C_{n}^{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} \) — число сочетаний.

1. Найдем вероятность неудачи \( q \):
• \( q = 1 - p = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4} = 0.25 \)
2. Найдем число сочетаний \( C_{5}^{3} \):
• \( C_{5}^{3} = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10 \)
3. Рассчитаем вероятность попадания ровно 3 раза:
• \( P(X=3) = C_{5}^{3} \cdot (0.75)^3 \cdot (0.25)^{5-3} \)
• \( P(X=3) = 10 \cdot (0.75)^3 \cdot (0.25)^2 \)
• \( P(X=3) = 10 \cdot (0.421875) \cdot (0.0625) \)
• \( P(X=3) = 10 \cdot 0.0263671875 \)
• \( P(X=3) = 0.263671875 \)
4. Округлим результат до тысячных:
• \( P(X=3) \approx 0.264 \)

Ответ: 0.264