9. Дана правильная четырёхугольная пирамида SABCD со стороной основания, равной 8. Найдите длину отрезка, соединяющего середины отрезков AM и DK.

По отметкам на рисунке M и K — середины боковых рёбер SB и SC. Обозначим через P середину AM, а через Q — середину DK. Поскольку основание — квадрат со стороной 8, можно расположить его вершины в координатах: A(0; 0), B(0; 8), C(8; 8), D(8; 0). Пусть вершина S имеет координаты (x; y; z).

Тогда координаты середин боковых рёбер:

\(M=\left(\dfrac{x}{2};\dfrac{y+8}{2};\dfrac{z}{2}\right),\quad K=\left(\dfrac{x+8}{2};\dfrac{y+8}{2};\dfrac{z}{2}\right).\)

Находим середины AM и DK:

\(P=\left(\dfrac{x}{4};\dfrac{y+8}{4};\dfrac{z}{4}\right),\quad Q=\left(\dfrac{x+24}{4};\dfrac{y+8}{4};\dfrac{z}{4}\right).\)

У точек P и Q совпадают вторая и третья координаты, поэтому длина PQ равна разности первых координат:

\(PQ=\dfrac{x+24}{4}-\dfrac{x}{4}=6.\)

Ответ: 6.