9. Дано: ABCD — квадрат. Точки A₁, B₁, C₁, D₁ лежат соответственно на сторонах AB, BC, CD, DA; на рисунке отмечено, что BA₁ = BB₁ = DC₁ = DD₁. Доказать: A₁B₁C₁D₁ — прямоугольник.

Обозначим сторону квадрата через a, а общее отмеченное расстояние — через x. Выберем координаты: A(0, 0), B(0, a), C(a, a), D(a, 0). Тогда из рисунка:

A₁(0, a − x), B₁(x, a), C₁(a, x), D₁(a − x, 0).

Вычислим векторы соседних сторон четырёхугольника:

\(\overrightarrow{A_1B_1}=(x,x)\), а \(\overrightarrow{B_1C_1}=(a-x,x-a)\).

Их скалярное произведение равно \(x(a-x)+x(x-a)=0\), следовательно, A₁B₁ ⟂ B₁C₁. Значит, один угол четырёхугольника прямой.

Кроме того, стороны противоположны и параллельны: \(\overrightarrow{A_1B_1}=(x,x)\), \(\overrightarrow{C_1D_1}=(-x,-x)\); также \(\overrightarrow{B_1C_1}=(a-x,x-a)\), \(\overrightarrow{D_1A_1}=(x-a,a-x)\). Поэтому A₁B₁C₁D₁ — параллелограмм с прямым углом, то есть прямоугольник.

Что и требовалось доказать.