9. Для нагревательного элемента некоторого прибора экспериментально была получена зависимость температуры (в кельвинах) от времени работы: T(t) = T₀ + bt + at², где t — время в минутах, T₀ = 1400 К, a = -10 К/мин², b = 200 К/мин. Известно, что при температуре нагревателя свыше 1760 К прибор может испортиться, поэтому его нужно отключить. Определите, через какое наибольшее время после начала работы нужно отключить прибор. Ответ выразите в минутах.

Решение:

Нам дана формула зависимости температуры от времени: T(t) = T₀ + bt + at².

Подставим известные значения:

• T₀ = 1400 К
• a = -10 К/мин²
• b = 200 К/мин

Формула принимает вид:

• T(t) = 1400 + 200t - 10t²

Прибор нужно отключить, когда температура превысит 1760 К. Найдем время, когда температура достигнет 1760 К:

• \[ 1760 = 1400 + 200t - 10t² \]

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

• \[ 10t² - 200t + 1760 - 1400 = 0 \]
• \[ 10t² - 200t + 360 = 0 \]

Разделим все члены на 10 для упрощения:

• \[ t² - 20t + 36 = 0 \]

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

• \[ D = b² - 4ac = (-20)² - 4 imes 1 imes 36 = 400 - 144 = 256 \]

Найдем корни:

• \[ t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{20 + \sqrt{256}}{2 imes 1} = \frac{20 + 16}{2} = \frac{36}{2} = 18 \]
• \[ t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{20 - 16}{2} = \frac{4}{2} = 2 \]

Получаем два времени: 2 минуты и 18 минут. Это значит, что температура достигнет 1760 К сначала через 2 минуты, а затем, после снижения (так как коэффициент при t² отрицательный), снова достигнет 1760 К через 18 минут.

Чтобы прибор не испортился, его нужно отключить до того, как температура превысит 1760 К. Наибольшее время, после которого нужно отключить прибор, чтобы температура не превысила 1760 К, — это 18 минут.

Ответ: 18