9. Доказать, что $a+\frac{1}{a}<-2$, если $a<0$ и $a\ne-1$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 9. Доказать, что $a+\frac{1}{a}<-2$, если $a<0$ и $a\ne-1$.$ Фото задания

Accepted Answer

Рассмотрим разность левой части неравенства и числа $-2$:

\[a+\frac{1}{a}-(-2)=\frac{a^2+2a+1}{a}=\frac{(a+1)^2}{a}.\]

Так как $a\ne-1$, числитель $(a+1)^2>0$. По условию $a<0$, поэтому знаменатель отрицательный. Значит, разность отрицательна:

\[\frac{(a+1)^2}{a}<0.\]

Следовательно, $a+\frac{1}{a}<-2$.

9. Доказать, что \(a+\frac{1}{a}<-2\), если \(a<0\) и \(a\ne-1\).