9. Докажите неравенство: $$9 a² + 16 b² > 24ab - 1.$$

Краткое пояснение:

Для доказательства неравенства перенесем все члены в одну часть и преобразуем полученное выражение, чтобы показать, что оно всегда больше или равно нулю.

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Перенесем все члены в левую часть
   \( 9a^2 + 16b^2 - 24ab + 1 > 0 \).
2. Шаг 2: Перегруппируем слагаемые
   Попробуем сгруппировать слагаемые так, чтобы получить полные квадраты. Заметим, что \( 9a^2 = (3a)^2 \), \( 16b^2 = (4b)^2 \). Средний член \( -24ab \) похож на удвоенное произведение \( 2 \cdot (3a) \cdot (4b) = 24ab \).
   Перепишем неравенство: \( (3a)^2 - 2 \cdot (3a) \cdot (4b) + (4b)^2 + 1 > 0 \).
3. Шаг 3: Применим формулу квадрата разности
   Выражение в скобках \( (3a)^2 - 2 \cdot (3a) \cdot (4b) + (4b)^2 \) является квадратом разности \( (3a - 4b)^2 \).
   Неравенство примет вид: \( (3a - 4b)^2 + 1 > 0 \).
4. Шаг 4: Оценим полученное выражение
   Квадрат любого действительного числа (\( (3a - 4b)^2 \)) всегда неотрицателен, то есть \( (3a - 4b)^2 \ge 0 \).
   Прибавление единицы к неотрицательному числу гарантирует, что результат будет больше нуля: \( (3a - 4b)^2 + 1 \ge 0 + 1 \), следовательно \( (3a - 4b)^2 + 1 > 0 \).

Доказано.