9. Два шага доказательства. В треугольнике ABC известно, что CA = CB, а CD — биссектриса. Точка D лежит на AB. На продолжении CD отмечена точка E. а) Докажите, что AD = DB и CD ⟂ AB. б) Докажите, что AE = BE.

а) Рассмотрим △ACD и △BCD. Имеем AC = BC по условию, CD — общая сторона, а ∠ACD = ∠DCB, поскольку CD — биссектриса угла ACB. Значит, △ACD = △BCD по первому признаку равенства треугольников.

Из равенства треугольников получаем AD = DB и ∠ADC = ∠CDB. Точки A, D, B лежат на одной прямой, поэтому эти углы смежные и в сумме равны 180°. Так как они равны, каждый из них равен 90°. Следовательно, CD ⟂ AB.

б) Рассмотрим △ADE и △BDE. AD = DB по пункту а), DE — общая сторона. Поскольку CD ⟂ AB и E лежит на продолжении CD, углы ADE и BDE прямые, то есть равны. Следовательно, △ADE = △BDE по первому признаку, откуда AE = BE.