9. Хозяин договорился с рабочими, что они копают колодец на следующих условиях: за первый метр он заплатит им 3500 рублей, а за каждый следующий метр — на 1600 рублей больше, чем за предыдущий. Сколько рублей хозяин должен будет заплатить рабочим, если они выкопают колодец глубиной 9 метров?

Это задача на арифметическую прогрессию, так как цена за каждый следующий метр увеличивается на одну и ту же сумму.

Первый член прогрессии (оплата за первый метр): $$a_1 = 3500$$ рублей.

Разность прогрессии (увеличение оплаты за каждый следующий метр): $$d = 1600$$ рублей.

Количество членов прогрессии (глубина колодца в метрах): $$n = 9$$.

Нам нужно найти сумму первых 9 членов арифметической прогрессии ($$S_9$$).

Формула для суммы первых $$n$$ членов арифметической прогрессии:

\[ S_n = \frac{n}{2} (2a_1 + (n-1)d) \]

Подставим наши значения:

\[ S_9 = \frac{9}{2} (2 \times 3500 + (9-1) \times 1600) \]

\[ S_9 = \frac{9}{2} (7000 + 8 \times 1600) \]

\[ S_9 = \frac{9}{2} (7000 + 12800) \]

\[ S_9 = \frac{9}{2} (19800) \]

Теперь вычислим значение:

\[ S_9 = 9 \times \frac{19800}{2} \]

\[ S_9 = 9 \times 9900 \]

\[ S_9 = 89100 \]

Ответ: 89100 рублей